分数関数と有理関数の違いを徹底解説。中学生にも分かる図解つきガイド

---

分数関数と有理関数の基本の違いを押さえる

分数関数とは、文字を含む分子と分母の比で表される関数のことを指します。ここで重要なのは「分数」という形そのもので、分子にも分母にも x が現れることがある点です。分数関数の代表例として f(x) = (2x+1)/(x-3) があります。このとき分母が0になる x = 3 では定義されません。

この性質は、どの x で関数が定義されるかを考えるときの基本になる考え方です。

さらに注意したいのは、分数関数は必ずしも分子・分母が多項式とは限らない点です。式の中に平方根や指数が入っていても「分数の形」をしていれば分数関数と呼ばれます。

一方、有理関数とは「分子と分母の両方が多項式」になる特別な分数関数です。ここが分数関数との大きな違いです。例として f(x) = (x^2-5x+6)/(3x+1) は有理関数です。

有理関数は、分子・分母が多項式であるという条件を満たす限り、基本的には分数関数の一つの種類として扱われます。

<table><th>観点分数関数の説明有理関数の説明定義分子・分母が式の比。

必ずしも多項式とは限らない。分子・分母が多項式。例f(x) = (√x+1)/(x-2)f(x) = (x^2-4)/(x-1)定義域分母が0になる点を除く。同様に0となる点を除く。table>

実際の式とグラフで見る違いの実例

このセクションでは、具体的な式とそれに対応するグラフを見ながら、分数関数と有理関数の挙動の違いを比較します。まず f(x) = (2x+1)/(x-3) のグラフを思い浮かべてください。この関数は x=3 の近くで値が大きく飛び、横軸 y=0 を挟んで形が変わります。

さらに分母が0になる点を持つため、定義域は x ≠ 3 です。グラフは左右対称ではなく、可能な限界値に近づく様子が特徴です。

次に、有理関数の例として g(x) = (x^2-4)/(x-1) を取り上げます。これは分子が多項式、分母も多項式なので、基本的には分数関数の中の有理関数です。

この場合も x=1 で定義されませんが、長い分子であるため、グラフの形は複雑に見えます。

定義域の扱いは分数関数と同様で、分母が0になる点を避けることです。

ここで重要な点をまとめると、有理関数は分子と分母が多項式の特別な分数関数であり、分数関数には有理関数以外の形も含まれるということです。表現の自由度が高い分、グラフの挙動も様々ですが、分母が0になる点の周りの振る舞いをしっかり見ることがポイントです。

• 定義域の取り方
• 分母ゼロの近くでの発散
• 多項式の性質が現れる場面

ピックアップ解説

ある日の数学の授業で、友だちと分数関数と有理関数の違いについて雑談していたときのことです。分数関数は、分子と分母の形が式として現れるすべての関数を含むイメージで捉えると混乱しにくいです。
でも有理関数はもっと厳密で、「分子と分母がともに多項式」であることが条件です。だから f(x) が (x^2+1)/(x-4) のように分子が多項式で、分母も多項式で割り切れない場合、私たちはこれを有理関数と呼ぶのです。
授業後、友だちはノートに「有理関数 = 分子と分母が多項式」という短い定義を書き留め、練習問題を解くときはこの定義を最初に確認するようにしています。こうした基本を押さえると、分数関数の中でも何が有理関数か、何がそうでないかの判定がすぐにつくようになります。

---